Laplaca operatoro

Ĉi tiu artikolo temas pri simbolo aplikigita al skalaraj kampoj. Koncerne aliajn signifojn aliru la apartigilon Operatoro.

En matematiko, laplaca operatoro aŭ operatoro de Laplace, skribata kiel ${\displaystyle \Delta }$, aŭ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$, estas diferenciala operatoro de dua ordo en la n-dimensia eŭklida spaco Rⁿ.

Ĝi estas difinita kiel la diverĝenco ${\displaystyle (\nabla \cdot )}$ de la gradiento (matematiko) ${\displaystyle (\nabla f)}$, kie f estas dufoje diferencialebla reelo-valora funkcio

${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f=\,\operatorname {div} \,(\operatorname {grad} \,f)\ .}$

Ekvivalente, la laplaca operatoro de f estas la sumo de ĉiuj nemiksitaj duaj partaj derivaĵoj laŭ la karteziaj koordinatoj x_i:

${\displaystyle \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}\ ;}$

tiel, en du-dimensia kazo kie x kaj y estas la karteziaj koordinatoj de la xy-ebeno, laplaca operatoro estas

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\ ,}$

tiel, en tri-dimensia kazo kie x, y, z estas la karteziaj koordinatoj, laplaca operatoro estas

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\ .}$